1.3 완전제곱식을 이용한 풀이 | 중학교 3학년 수학

Hook · 도입

"인수분해되지 않는 이차방정식은 어떻게 풀까?"

$x^2 - 4x + 1 = 0$ — 합이 $4$, 곱이 $1$ 인 정수쌍은 없다. 인수분해 불가. 그러나 좌변을 $(x-2)^2 - 3 = 0$ 으로 변형하면, $(x-2)^2 = 3$ 이 되고, 제곱근을 취하면 $x - 2 = \pm\sqrt{3}$ → $x = 2 \pm \sqrt{3}$.

핵심 아이디어 :
$ax^2 + bx + c = 0 \;\;\Rightarrow\;\; (x - h)^2 = k$

한 번 이 꼴로 만들면, 제곱근만 취하면 끝.
$(x - h)^2 = k \;\Rightarrow\; x - h = \pm\sqrt{k} \;\Rightarrow\; x = h \pm \sqrt{k}$

Core · 기초

제곱근을 이용한 풀이

Square-Root Method

1. $x^2 = k$ 꼴

$x^2 = k \;\;(k \geq 0) \;\;\Rightarrow\;\; x = \pm\sqrt{k}$

이차방정식이 $x^2 = $ 상수 형태로 정리되면, 양변에 제곱근을 취해 즉시 푼다. $\pm$ 부호 잊지 말 것.

$x^2 = 25 \;\Rightarrow\; x = \pm 5$
$x^2 = 7 \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{7}$
$x^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 0$ (중근)
$x^2 = -3$ → 실수 범위에서 해 없음

2. $(x-h)^2 = k$ 꼴

$(x-h)^2 = k \;\;(k \geq 0) \;\;\Rightarrow\;\; x = h \pm \sqrt{k}$

$x$ 대신 $(x-h)$ 가 들어와도 똑같이 풀린다. 제곱근을 취한 뒤 $h$ 를 양변에 더해 정리.

$(x-2)^2 = 9 \;\Rightarrow\; x-2 = \pm 3 \;\Rightarrow\; x = 5$ 또는 $x = -1$
$(x+1)^2 = 5 \;\Rightarrow\; x+1 = \pm\sqrt{5} \;\Rightarrow\; x = -1 \pm \sqrt{5}$

Method · 완전제곱 만들기

완전제곱식 변형 — Completing the Square

From general form to $(x-h)^2 = k$

핵심 — "절반의 제곱"

$x^2 + bx + ?$ 형태를 완전제곱식으로 만들려면, $b$ 의 절반의 제곱 즉 $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$ 을 더하면 된다.

$x^2 + bx + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2$

이유는 단순하다 — $(x+m)^2 = x^2 + 2mx + m^2$ 이므로, $2m = b$ 일 때 $m = \dfrac{b}{2}$ 이고 $m^2 = \left(\dfrac{b}{2}\right)^2$.

예제 — $x^2 + 6x + 7 = 0$ 의 풀이

$x^2 + 6x + 7 = 0$

시작

$x^2 + 6x = -7$

① 상수항 우변으로

$x^2 + 6x + 9 = -7 + 9$

② $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ 양변에 더하기

$(x + 3)^2 = 2$

③ 좌변을 완전제곱식으로

$x + 3 = \pm\sqrt{2}$

④ 제곱근 풀이

$x = -3 \pm \sqrt{2}$

⑤ 정리

General · 일반 절차

$ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 1$) 의 풀이

When $a \neq 1$

$x^2$ 계수가 1이 아닐 때 — 먼저 나누기

양변을 $a$ 로 나누어 $x^2$ 계수를 1로 만든다

$2x^2 - 8x + 2 = 0 \;\to\; x^2 - 4x + 1 = 0$

상수항을 우변으로 이항

$x^2 - 4x = -1$

$\left(\frac{b'}{2}\right)^2$ 을 양변에 더한다

여기서 $b' = -4$ → $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$

$x^2 - 4x + 4 = -1 + 4 = 3$

좌변을 완전제곱식으로 만들고 제곱근 풀이

$(x - 2)^2 = 3 \;\Rightarrow\; x - 2 = \pm\sqrt{3} \;\Rightarrow\; x = 2 \pm \sqrt{3}$

이 일반화된 풀이가 다음 차시의 근의 공식으로 그대로 이어진다.

Interactive · 실험실

완전제곱 변형 단계별 시뮬레이터

Step-by-Step CTS Visualizer

$x^2 + bx + c = 0$ 의 완전제곱식 변형을 단계별로 본다.

b (일차항 계수) c (상수항)

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions

Q1. $x^2 = 7$ 의 해를 구하라. (예: x=±√7)

Q2. $(x-3)^2 = 4$ 의 해를 구하라.

Q3. $x^2 + 6x + \square$ 가 완전제곱식이 되려면 □에 들어갈 수를 구하라.

Q4. $x^2 + 10x - 2 = 0$ 을 $(x-h)^2 = k$ 꼴로 변형하라. (예: (x+5)^2=27)

Q5. $(x+3)^2 = 5$ 의 해를 구하라.

Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples

예제 1

$x^2 - 4x + 1 = 0$ 을 완전제곱식 풀이로 풀어라.

인수분해되지 않는 식이므로 완전제곱 만들기.

상수항을 우변으로 → $x^2 - 4x = -1$
$\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2 = 4$ 를 양변에 더하기 → $x^2 - 4x + 4 = -1 + 4$
좌변을 완전제곱식으로 → $(x - 2)^2 = 3$
제곱근 풀이 → $x - 2 = \pm\sqrt{3}$
결과 → $x = 2 \pm \sqrt{3}$

예제 2

$2x^2 + 8x - 4 = 0$ 을 완전제곱식 풀이로 풀어라.

$x^2$ 의 계수가 2 — 먼저 2로 나눈다.

양변을 2로 나누기 → $x^2 + 4x - 2 = 0$
상수항을 우변으로 → $x^2 + 4x = 2$
$\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = 4$ 를 양변에 더하기 → $x^2 + 4x + 4 = 6$
좌변을 완전제곱식으로 → $(x + 2)^2 = 6$
제곱근 풀이 → $x + 2 = \pm\sqrt{6}$
결과 → $x = -2 \pm \sqrt{6}$

Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems

01★

$x^2 = 9$ 의 해를 구하라.

02★

$x^2 = 5$ 의 해를 구하라.

03★

$(x-3)^2 = 1$ 의 해를 구하라.

04★★

$(x-1)^2 = 3$ 의 해를 구하라.

05★★

$x^2 - 10x + \square$ 가 완전제곱식이 되려면 □는?

06★★

$x^2 - 4x + 1 = 0$ 의 해를 완전제곱식 풀이로 구하라.

07★★★

$x^2 + 6x + 2 = 0$ 의 해를 완전제곱식 풀이로 구하라.

08★★★

$2x^2 + 8x - 4 = 0$ 의 해를 완전제곱식 풀이로 구하라.

완전제곱식 풀이 — 모든 이차방정식의 만능 열쇠

인수분해가 안 되는 식도, $x^2$ 계수가 1이 아닌 식도 — 모두 풀린다. $(x-h)^2 = k$ 라는 한 형태로 변형해 제곱근을 취하면 끝. 이 방법을 일반화하면 다음 차시의 근의 공식이 된다.

"Completing the square is the secret machinery behind the quadratic formula."